Fourierreihe von |cosx| < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | Bestimme die Fourierapproximation von |cosx| |
Wie würdet ihr diese Reihe berechnen?
Kann mir das jemand mit den komplexen Fourierkoeffizienten vorrechnen?
Oder sollte man das anders machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zorba,
wie Du das machst, ist prinzipiell eigentlich egal. Du kannst die Reihe je nach Geschmack mit reellen oder komplexen Fourierkoeffizienten aufstellen. Sinnvoll ist es, sich an der Vorlesung zu orientieren.
Du musst hier nun die Fourierkoeffizienten für die Fourierreihe ausrechnen, dazu findest Du z.B. hier etwas:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe
Ich persönlich sehe gerade keinen Grund, Dir das ganze vorzurechnen. Du könntest ja schonmal anfangen, wenigstens formal die Fourierkoeffizienten aufzuschreiben. Wenn Du dann dabei bei den Integralen Vereinfachungen oder Zusammenhänge nicht siehst, dann kannst Du gerne nochmal nachfragen, aber die "formale Fourierreihe", die sich einzig per Definitionem + Einsetzen der Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] |cos(x)|$ ergibt, wirst Du sicherlich notieren können.
P.S.:
Zur Orientierung im Falle komplexer Koeffizienten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe
Kapitel 28 (Definition 28.2)
Wenn Du eine Rechnung zur Orientierung brauchst:
In Beispiel 28.4 siehst Du, wie man vorgeht, um die Fourierreihe für $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ aufzustellen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Ok, danke schonmal, ich schreib mal auf, wie ich das machen würde. Hoffe du bist noch ein wenig online.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Ich probiers mal:
[mm] c_{k}=\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi} |cosx|e^{-ikx}dx
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{\pi/2} cosxe^{-ikx}dx [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{\pi/2}^{3\pi/2} cosxe^{-ikx}dx [/mm] + [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{3\pi/2}^{2\pi} cosxe^{-ikx}dx
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ich probiers mal:
> [mm]c_{k}=\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi} |cosx|e^{-ikx}dx[/mm]
Hallo Zorba,
und nun gilt (wegen $k [mm] \in \IZ$, [/mm] $x [mm] \in \IR$ $\Rightarrow$ [/mm] $(-k*x) [mm] \in \IR$): [/mm]
[mm] $e^{-i*k*x}=e^{i*(-k*x)}=\cos(-k*x)+i*\sin(-k*x)=\cos(k*x)-i*\sin(k*x)$ [/mm]
(für [mm] $\phi \in \IR$ [/mm] ist bekanntlich [mm] $e^{i*\phi}=\cos(\phi)+i*\sin(\phi)$ [/mm] und es gilt für alle $y [mm] \in \IR$: $\cos(-y)=\cos(y)$ [/mm] und [mm] $\sin(-y)=-\sin(y)$).
[/mm]
Erstmal einsetzen, Linearität bzgl. Integralrechnung benutzen und dann weiter überlegen, wie man die Integrale berechnen kann...
(Oft ist es nützlich, ggf. zu gucken, ob Fallunterscheidungen helfen:
$k$ gerade, $k$ ungerade, $k [mm] \ge [/mm] 0$. $k [mm] \le [/mm] 0$, ...
Dazu muss man sich halt auch ein paar Gedanken zu den Integralen machen...
Und wie sieht $x [mm] \mapsto [/mm] cos(x)$ in [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] aus (wo [mm] $\ge [/mm] 0$, wo [mm] $\le [/mm] 0$)? Was heißt das für $x [mm] \mapsto [/mm] |cos(x)|$? Warum macht es Sinn, dabei dann das Integral [mm] $\integral_{0}^{2\pi}$ [/mm] mittels [mm] $\integral_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=\integral_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}+\integral_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$ [/mm] zu ersetzen? (Beachte dabei die [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] des Integranden!))
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:56 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Erstmal vielen Dank, dass du zu so später Stunde noch eifrig hilfst!
Ich denke, ich habe den prinzipiellen Weg jetzt verstanden.
Muss nun einen Weg finden die Integrale auszurechnen. Muss ich dabei partiell integrieren? Kann ich die Integrale in einem Schritt ausrechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:05 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Erstmal vielen Dank, dass du zu so später Stunde noch
> eifrig hilfst!
> Ich denke, ich habe den prinzipiellen Weg jetzt
> verstanden.
> Muss nun einen Weg finden die Integrale auszurechnen. Muss
> ich dabei partiell integrieren? Kann ich die Integrale in
> einem Schritt ausrechnen?
Hallo Zorba,
ich habe die Aufgabe ja selbst noch nicht durchgerechnet. Es ist immer gut, auf folgende Dinge zu achten:
- Was ist mit dem Integral im Falle $k=0$
- Partielle Integration ist auch sinnvoll, bitte aber drauf achten, dass nirgends durch $0$ dividiert wird, bzw. noch genauer, dass man "nichts macht, was man nicht machen darf"
- Sind evtl. Integranden gerade (also für die Integrierte Funktion, die ich jetzt mal $h(x)$ nenne, gilt dann $h(-x)=h(x)$ $(x [mm] \in \IR)$)? [/mm] Was heißt das für das Integral?
- Sind evtl. Integranden ungerade ($h(-x)=-h(x)$)? Was heißt das für das Integral?
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Ich rechne das demnächst mal durch (vll. auch nachher), und gebe Dir ggf. mein Ergebnis zur Kontrolle...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Danke! Ich versuch mich jetzt mal dran, wenn ich was herausbekomme, schreib ichs hier auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:02 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Danke! Ich versuch mich jetzt mal dran, wenn ich was
> herausbekomme, schreib ichs hier auf.
Hallo,
nur mal so als Zwischenrechnung:
[mm] $2\pi c_k=\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{3\frac{\pi}{2}}{|\cos(x)| (\cos(kx)-i*\sin(kx))dx}$
[/mm]
Es ist nun
[mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{3\frac{\pi}{2}}{|\cos(x)| \sin(kx)dx}=\integral_{-\pi}^{\pi}{|\cos(x)| \sin(kx)dx}=0$, [/mm] weil $x [mm] \mapsto |\cos(x)| \sin(kx)$ [/mm] für [mm] $k\not=0$ [/mm] eine ungerade Funktion ist, und im Falle $k=0$ ist [mm] $\sin(0*x) \equiv [/mm] 0$ und damit ist dieser Fall trivial.
Weiter ergibt sich analog aus Symmetriegründen:
$2 [mm] \pi c_k=\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{3\frac{\pi}{2}}{|\cos(x)|\cos(kx)dx}=2*\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos(x)\cos(kx)dx}$
[/mm]
Im Falle $k=0$ erhält man damit [mm] $c_0=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}$
[/mm]
Du musst nun nur noch
[mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos(x)\cos(kx)dx}$
[/mm]
berechnen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:11 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Hallo marcel, tausend Dank! Das hilft mir sehr!
Habe nun [mm] c_{1}=1 [/mm] und [mm] c_{k}=0 [/mm] für k>1 errechnet.
Stimmt dies?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zorba,
ich habe ein anderes Ergebnis:
Ich schreibe jetzt einfach nur noch [mm] $\integral$ [/mm] anstatt [mm] $\integral_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$.
[/mm]
Damit habe ich folgendes errechnet:
[mm] $\pi*c_0=\int{\cos(x)dx}=\sin(\frac{\pi}{2})-\sin(-\frac{\pi}{2})=2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $c_0=\frac{2}{\pi}$
[/mm]
Für [mm] $k=\pm [/mm] 1$ erhält man, weil $x [mm] \mapsto \frac{x+\sin(x)\cos(x)}{2}$ [/mm] eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto \cos(x)\cos(x)$ [/mm] ist (Nachweis entweder durch Ableiten der letzten Funktion, oder partielle Integration bei [mm] $\int{\cos(x)\cos(x)dx}$ [/mm] und [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] ausnutzen):
$2 [mm] \pi c_{\pm1}=2*\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ $c_{\pm1}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Für $k [mm] \in \IZ \backslash \{-1,0,1\}$ [/mm] gilt:
[mm] $\int{\cos(x)\cos(kx)dx}=\left[\cos(x)*\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{k}\int{\sin(x)\sin(kx)dx}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{k}\int{\sin(x)\sin(kx)dx}=\frac{1}{k} *\left(\left[\sin(x)*\frac{-\cos(kx)}{k}\right]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{k}\int{\cos(x)\cos(kx)dx}\right)$
[/mm]
Mit [mm] $I_k:=\int{\cos(x)\cos(kx)dx}$ [/mm] steht dort also nichts anderes als:
[mm] $k^2 *I_k=-\cos(k*\frac{\pi}{2})-(-1)*(-\cos(k*(\frac{-\pi}{2})))+I_k$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(k^2-1)*I_k=-2\cos(k*\frac{\pi}{2})$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $I_k=-\frac{2}{k^2-1}*\cos(k*\frac{\pi}{2})$
[/mm]
Also:
[mm] $I_k=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } k \mbox{ ungerade} \\ -\frac{2}{k^2-1}, & \mbox{falls } \frac{k}{2} \mbox{ gerade}\\\frac{2}{k^2-1}, & \mbox{falls } \frac{k}{2} \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Mit [mm] $2\pi c_k=2I_k$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $c_k=\frac{I_k}{\pi}$
[/mm]
erhälst Du dann die Fourierkoeffizienten.
P.S.:
Das ganze ohne die Garantie, dass keine Rechenfehler vorhanden sind, also bitte nachrechnen.
P.P.S.:
Bitte beachte, dass man die Fourierreihe am Ende, weil hier [mm] $I_{-k}=I_{k}$ [/mm] und damit auch [mm] $c_{-k}=c_k$ [/mm] gilt, etwas schöner notieren kann.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
> Für [mm]k=\pm 1[/mm] erhält man, weil [mm]x \mapsto \frac{x+\sin(x)\cos(x)}{2}[/mm]
> eine Stammfunktion von [mm]x \mapsto \cos(x)\cos(x)[/mm] ist
> (Nachweis entweder durch Ableiten der letzten Funktion,
> oder partielle Integration bei [mm]\int{\cos(x)\cos(x)dx}[/mm] und
> [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/mm] ausnutzen):
> [mm]2 \pi c_{\pm1}=\frac{\pi}{2}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]c_{\pm1}=\frac{1}{4}[/mm]
Wenn ich [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] -\pi/2 [/mm] in die Stammfunktion(ist korrekt, danke!) einsetze, bekomme ich aber: [mm] \pi/2 [/mm] - [mm] -\pi/2 [/mm] = [mm] \pi [/mm] ?
also 2 [mm] \pi c_{\pm1}=\pi [/mm] und somit: [mm] c_{\pm1}=1/2 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> > Für [mm]k=\pm 1[/mm] erhält man, weil [mm]x \mapsto \frac{x+\sin(x)\cos(x)}{2}[/mm]
> > eine Stammfunktion von [mm]x \mapsto \cos(x)\cos(x)[/mm] ist
> > (Nachweis entweder durch Ableiten der letzten Funktion,
> > oder partielle Integration bei [mm]\int{\cos(x)\cos(x)dx}[/mm] und
> > [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/mm] ausnutzen):
> > [mm]2 \pi c_{\pm1}=\frac{\pi}{2}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]c_{\pm1}=\frac{1}{4}[/mm]
>
> Wenn ich [mm]\pi/2[/mm] und [mm]-\pi/2[/mm] in die Stammfunktion(ist korrekt,
> danke!) einsetze, bekomme ich aber: [mm]\pi/2[/mm] - [mm]-\pi/2[/mm] = [mm]\pi[/mm] ?
> also 2 [mm]\pi c_{\pm1}=\pi[/mm] und somit: [mm]c_{\pm1}=1/2[/mm]
Hallo,
[mm] $I_{\pm 1}=\left[\frac{x+\sin(x)\cos(x)}{2}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\frac{\pi}{2}-\left(\frac{-\pi}{2}\right)}{2}=\frac{\pi}{2}$, [/mm]
und damit
[mm] $2\pi *c_{\pm 1}=2*\frac{\pi}{2}$ [/mm] bzw. [mm] $c_{\pm 1}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Ja, da hatte ich mich verrechnet, ich werde es korrigieren. Danke 
Gruß,
Marcel
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